大家好，我是小一，我来为大家解答以上问题。对称矩阵怎么快速求行列式，对称矩阵求特征值技巧很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

对于3阶方阵，可参考以下解三中的做法来求特征值。由于有举例，故此例不详算了。请谅解。

解一:

特征多项式f(t)=|t*E-A|=0

此即得关于t的一元三次方程.

求解三个t值即是.可能有重根.

或用-f(t)=|A-t*E|=0 也是一样的.

解二:

|A+t*E|=0

解此关于t的一元三次方程.

求解三个t值.可能有重根.

再取相反数即是所求.

这样在计算是方便一点点.

解三参考:

以下tr表示矩阵的迹(即主对角线元素之和); A*表示伴随阵; det表示行例式的值.

特征多项式f(t)=|t*E-A| 习惯上一般用λ.为了打字方便有时我用t.

如果A是1阶矩阵, 易见特征值就是A本身.

如果A是2阶矩阵, 特征多项式可以写为λλ-tr(A)λ+det(A).

如果A是3阶矩阵, 特征多项式可以写为λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).

其中tr(A*)=各阶主子行列式之和.

如果A是4阶矩阵, 特征多项式可以写为λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A), 其中c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.

于是

A=

2 -1 2

5 -3 3

-1 0 -2

故

A=ttt-(2-3-2)tt+(6+-2+-1)t-(2*6-5*2+-1*3)=ttt+3tt+3t+1

很显然A=(t+1)^3,有三重根-1.

即矩阵有三重特征值 -1

用解三来做，举个例子，上面的题目未加详算，请谅解。

-A=

-2 1 -2

-5 3 -3

1 0 2

|tE-A|

=

det

t-2 1 -2

-5 t+3 -3

1 0 t+2

=

(t-2)*(t+3)(t+2)

-(-5)*(t+2)

+ 1*(1*(-3)-(-2)*(t+3))

=ttt+3tt+3t+1

=(t+1)^3

故原矩阵A 有一个三重特征值 t=-1

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。